申请体外循环连续血气监测系统的美国FDA认证需要遵循以下步骤：

确定产品的分类和适用法规：首先，确定体外循环连续血气监测系统的分类，包括其预期用途和特性。根据产品的分类，确定适用的FDA法规。

准备510(k)申请或PMA申请：根据产品分类，选择合适的申请类型。如果产品具有类似的先前市场上已有产品，并且预期使用的技术和性能与这些产品相似，可以选择提交510(k)申请。如果产品属于高风险类别或没有类似的先前市场上已有产品，需要提交PMA（Pre-Market Approval）申请。

收集技术和临床数据：根据申请类型，收集必要的技术和临床数据来支持产品的安全性和有效性。这可能包括产品设计和制造过程描述、性能测试结果、临床试验数据等。

编写申请文件：根据FDA的要求，编写完整的申请文件，包括申请表格、产品描述、技术文件、临床数据、质量管理体系文件等。确保提供清晰、准确和完整的信息。

提交申请：将申请文件提交给FDA。对于510(k)申请，需要在FDA的电子提交系统（eSubmitter）中提交申请。对于PMA申请，需要通过FDA的电子申请管理系统（eDRLS）提交申请。

审核和评估：FDA将对提交的申请进行审查和评估。这可能包括对文件的完整性和准确性进行审查，并对技术和临床数据进行评估。

与FDA的沟通和反馈：在审查过程中，可能需要与FDA进行沟通和交流，回答他们的问题或提供进一步的信息。

审批和认证：如果申请获得FDA的批准和认证，您将收到FDA的通知，并获得相应的认证文件。这意味着您可以在美国市场上销售和推广该产品。